C Contraintes interfaciales

1 Calcul des forces de contact

Dans le volume de matière condensée, les contraintes sont décrites par le tenseur des contraintes $$\tens{\sigma}$$. Cela veut dire que ces contraintes s'exercent uniquement par le biais de forces de contact entre deux éléments de volume voisins.

Considérons un élément de surface $dS$ qui sépare deux éléments de volume (1) et (2).

La force exercée par (1) sur (2) au niveau de la surface $dS$ est :

$$\vect{F}_{(1)\rightarrow(2)} = \tens{\sigma} \vect{dS}.$$ (2.13)

On montre que le tenseur $$\tens{\sigma}$$ est symétrique^2.1.

Calculons la résultante des forces de contact s'exerçant sur le cube élémentaire $d\tau$ ci-contre (on ne tient pas compte des forces ayant des causes externes) :

$$\vect{f_{int}} = (\tens{\sigma}(x+dx)-\tens{\sigma}(x))\vect{e_x}\,dy\,dz$$

$$+ (\tens{\sigma}(y+dy)-\tens{\sigma}(y))\vect{e_y}\,dx\,dz$$ (2.14)

$$+ (\tens{\sigma}(z+dz)-\tens{\sigma}(z))\vect{e_z}\,dx\,dy$$

$$\vect{f_{int}} = \begin{array}{\vert cccccl} \frac{\dr \sigma_{xx}}{\dr x}\,dx\,dy... ...dr \sigma_{zx}}{\dr x}\,d\tau &+& \ldots &&&\hspace{.5cm}\vect{e_z} \end{array}$$ (2.15)

$$= \text{div} \tens{\sigma} d\tau$$ (2.16)

Le théorème de la résultante dynamique nous donne la condition d'équilibre : la force totale subie par un élément de fluide est nulle.

$$\vect{f_{ext}} + \text{div} \tens{\sigma} = \vect{0},$$ (2.17)

où $\vect{f_{ext}}$ représente les contraintes externes par unité de volume (par exemple, le poids, ou encore des forces magnétiques).

2 Calcul des excès de surface

On se place à présent au voisinage de la surface. On peut alors négliger les forces externes, car elles sont volumiques (et donc négligeables devant les forces de surface). On a donc :

$$\text{div} \tens{\sigma} = \vect{0}.$$ (2.18)

On peut également considérer que les variations suivant la direction $z$ seront grandes devant celles des autres directions :

$$\frac{\dr}{\dr x} = \frac{\dr}{\dr y} = 0.$$

On en déduit que $$\frac{\dr\sigma_{xz}}{\dr z}=\frac{\dr\sigma_{yz}}{\dr z}=\frac{\dr\sigma_{zz}}{\dr z}=0$$ : les contraintes de cisaillement et de pression dans la direction $z$ ne présentent pas d'excès de surface.

En revanche, $\sigma_{xx}$, $\sigma_{xy}$ et $\sigma_{yy}$ peuvent varier au travers de l'interface. Cependant, pour $\sigma_{xx}$ et $\sigma_{yy}$, il est possible de définir des grandeurs d'excès, car leurs valeurs sont identiques de part et d'autre (et égales à la pression).

La contrainte de surface supplémentaire $\sigma_{xx}^\Sigma$ est donc :

$$\sigma_{xx}^\Sigma = \int_{z_A}^{z_B} \sigma_{xx}(z)\,dz - (z_A-z_B)\sigma_{xx}^I.$$ (2.19)

Afin d'évaluer cette variation, on considère que l'on déplace l'une des parois suivant la direction $x$, à potentiel chimique constant, c'est-à-dire que l'on agrandit le système en apportant de la matière.

Dans la situation considérée (le système est en contact avec un réservoir de particules), la variation du grand potentiel est égale au travail fourni :

$$d\Omega = \delta W$$ (2.20)

$$= - \int_{z_A}^{z_B} \sigma_{xx}(z)\,dx\,dz\,Ly$$ (2.21)

$$= - \left((z_A-z_B)\sigma_{xx}^I + \sigma_{xx}^\Sigma\right)dx\,L_y,$$ (2.22)

où $\sigma_{xx}^I=\sigma_{xx}^{II}=P$, et $L_y$ est la longueur du système dans la direction $y$. On en déduit :

$$\delta W = -P (z_A-z_B)\,dx\,L_y-\sigma_{xx}^\Sigma\,dx\,L_y$$ (2.23)

$$d\Omega = -P (dV_1+dV_2) + \gamma\,dA.$$ (2.24)

Or, $(z_A-z_B)\,dx\,L_y = dV_1+dV_2$, et on peut alors écrire :

$$\boxed{\gamma = \sigma_{xx}^\Sigma}$$ (2.25)

En l'absence d'autres suppositions, la surface est isotrope : en effet, on peut déterminer de même $$\gamma = \sigma_{yy}^\Sigma$$. Cependant, pour des surfaces anisotropes (par exemple, la surface d'un cristal liquide), on peut avoir $\sigma_{xx} \neq \sigma_{yy}$.

Si de plus on suppose que $\sigma_{xy}^\Sigma=0$, ce qui revient à supposer que la surface ne crée pas de contraintes de torsion^2.2, la forme du tenseur des contraintes de surface est alors particulièrement simple :

$$\tens{\sigma^\Sigma} = \begin{array}({ccc}) 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\gamma.$$ (2.26)

3 Un exemple

Cette propriété peut être utilisée pour mesurer $\gamma$, par exemple avec une balance de Wilhelmy, schématisée ci-contre.

À l'équilibre, la force subie au niveau du ressort est :

$$F_V = 2\gamma\,L\cos\theta.$$ (2.27)

L'angle $\theta$ dépend du matériau constituant la lame. En utilisant sa valeur tabulée, ou en faisant l'approximation $\cos\theta = 1$ (ce qui est quasiment toujours le cas pour le platine), on peut déduire de cette force mesurée la valeur de $\gamma$.

On peut vérifier que ces forces sont suffisamment importantes pour être mesurables : par exemple, pour l'eau, on a $\gamma = 72.10^{-3}$ N.m^-1, donc pour une lame de 2 cm de long, on a $F_V = \nombre{2,8}$ mN, ce qui est mesurable sans avoir besoin d'un dynamomètre de précision.

Notes

... symétrique^2.1

voir pour cela tout bon ouvrage de mécanique des milieux continus

... torsion^2.2

De telles contraintes ne peuvent être créées qu'à l'interface entre deux solides, et dans des conditions particulières.