A Le frottement solide

1 Lois d'Amonton et de Coulomb

Considérons deux surfaces solides en contact. On exerce (par exemple par le biais du poids) une force $\vect{N}$ normale à ces surfaces.

En 1699, Amonton a déterminé que la force tangentielle $\vect T$ seuil à exercer pour mettre les deux solides en mouvement ne dépend pas de l'aire du contact, mais qu'elle est proportionnelle à $N$ :

$$T_{seuil} = \frac 13N\,.$$ (10.1)

En 1785, Coulomb a largement précisé cette loi phénoménologique, qui porte à présent son nom. En fait, le coefficient de proportionnalité n'est pas le même pour tous les matériaux :

$$\boxed{\frac{T_{seuil}}N = \mu_s}\,.$$ (10.2)

Le coefficient de frottement statique $\mu_s$ varie de 0,2 à 1,2, suivant la nature des deux matériaux formant le contact.

De plus, si on a glissement, la force $\vect T$ ne dépend pas de la vitesse :

$$\boxed{\frac{T(v\neq 0)}{N} = \mu_c}\,,$$ (10.3)

avec un coefficient de frottement cinétique $\mu_c<\mu_s$.

Notons que la force de frottement solide va dissiper de l'énergie même lorsque l'avancement est quasi-statique, contrairement aux frottements fluides.

L'interprétation de ces propriétés avait déjà été suggérée par Amonton. Selon lui, les deux surfaces étant rugueuses, il faut les déplacer dans la direction verticale de la hauteur d'une aspérité pour la franchir. L'énergie nécessaire à ce déplacement est alors dissipée irréversiblement lorsqu'elles redescendent.

Cependant, leur interprétation rigoureuse n'a été proposée qu'en 1950 par Tabor.

2 Modèle de Tabor

Ce modèle est basé sur le fait que deux surfaces en contact n'ont en fait que très peu d'aire de contact réelle.

2.1 Contact au niveau d'une aspérité

Considérons une aspérité sphérique de rayon $R$, en contact avec une surface plane supposée indéformable. Si on exerce une force normale $\vect N$ sur le contact, la sphère se déforme élastiquement comme représenté ci-contre. Dans la géométrie considérée, on a :

$$\sin\theta = \frac aR = \frac\delta a\,,$$ (10.4)

$$\text{soit}~~~a^2=R\delta\,.$$ (10.5)

À partir de cette forme, Hertz a montré que l'on a :

$$a^3 = \frac{3NR}{4E^\star},$$ (10.6)

où le module d'Young réduit est :

$$E^\star = \frac E{1-\nu}\,.$$ (10.7)

$E$ est le module d'Young, et $\nu$ le coefficient de Poisson du solide considéré^10.1.

La pression moyenne qui s'exerce sur la surface est donc :

$$P_m = \frac N{\pi a^2} = \frac{N^{1/3} (4E^\star)^{2/3}}{\pi (3R)^{2/3}}\,.$$ (10.8)

2.2 Plastification du matériau

Si on applique à un matériau une contrainte d'étirement ou de compression $\sigma$, il subit une déformation $\varepsilon$. Tant que $\sigma$ reste inférieure à une contrainte limite $Y$^10.2, la déformation est élastique. Au-delà de cette limite, il se déforme irréversiblement (la déformation est plastique).

Revenons à notre sphère qui se déforme. Lorsque la pression moyenne sur la surface atteint $\nombre{1,1}\,Y$, le matériau commence à se plastifier en son point le plus fragile. Si la pression moyenne atteint une valeur $H\approx 3Y$ appelée dureté du matériau, le matériau se plastifie complètement et se déforme de façon à ce que $P_m$ garde cette valeur $H$.

En réalisant une expérience similaire de contact plan-sphère à l'échelle macroscopique, on peut mesurer $Y$ et $H$ : par exemple, pour le cuivre, $Y$ correspond (pour la pesanteur terrestre) à une masse de 31 kg.mm$^{-2}$. Pour l'acier, $Y = 65$ kg.mm$^{-2}$. Dans ces deux métaux, on a $\cfrac HY = 2,8$.

Comme on le voit sur la courbe de déformation de la sphère ci-contre, la relation 10.8 n'est valable que jusqu'à $P_m=\nombre{1,1}\,Y$, correspondant à une charge :

$$N_l = \frac{(\nombre{1,1}\,Y)^3\,\pi^3\,9R^2}{16\,{E^\star}^2}\,.$$ (10.9)

Au-delà, le matériau se plastifie, et on atteint rapidement $P_m=H$.

Examinons à présent ce qui se passe dans les matériaux réels :

Matériau	$Y$	$N_l$ (en équivalents masse)
	(kg.mm$^{-2}$)	$R=1$ cm	$R=100$ $µ$	$R=1$ $µ$
Cuivre	31	250 g	25 mg	2,5 $µ$g
Acier dur	200	140 kg	14 g	1,4 mg

Ainsi, dans un solide même dur, les aspérités sont plastifiées même avec de petites charges normales. Elles atteignent un état où la pression $P_m$ ne dépend plus de $N$, et est égale à sa valeur maximale $H$.

2.3 Aire réelle du contact

Si on somme sur toutes les aspérités en contact, la pression totale est égale au quotient de la force normale totale par la somme des aires :

$$P_m = \frac N{A_r} = H,$$ (10.10)

et l'aire réelle de contact est donc :

$$\boxed{A_r = \frac NH}\,.$$ (10.11)

$A_r$ est proportionnel à la charge. On notera que, dans le cas du cuivre, $A_r = 1$ mm$^2$ pour une charge de 90 kg. L'aire de contact réelle est donc en général très petite devant l'aire apparente.

Notons que cette petitesse de l'aire de contact explique la faiblesse des forces d'adhésion entre solides, qui sont absolument négligeables par rapport à celles des liquides.

2.4 Retour sur la loi de Coulomb

Si on déplace les surfaces l'une par rapport à l'autre, il faut rompre en permanence des contacts tout en en créant d'autres, de façon à maintenir l'aire de contact $A_r$ constante.

Si on veut rompre un contact d'aire $\delta A_r$, il faut fournir une énergie :

$$\delta E = 2\gamma_{SV} \, \delta A_r.$$ (10.12)

En pratique, l'existence de cette énergie de liaison est à l'origine d'une force de rappel lors du déplacement des surfaces l'une par rapport à l'autre. Le solide se déformant pour s'opposer au mouvement, celui-ci ne sera possible que pour une force supérieure à une valeur seuil $\tau$ par unité de surface. Au total, la force tangentielle à exercer pour mettre en mouvement les surfaces est alors :

$$T = \tau A_r = \frac\tau H N.$$ (10.13)

Au final, le coefficient de frottement est :

$$\boxed{\mu = \frac \tau H}\,.$$ (10.14)

$\mu$ ne dépend que de la nature des matériaux, et s'exprime comme un quotient de grandeurs mécaniques. Ainsi, même si ces grandeurs varient, d'un matériau à l'autre ou avec la température, on comprend que $\mu$ varie peu.

Notons que ce modèle simple n'explique pas la différence entre les coefficients de frottement statique et dynamique.

Notes

... considéré^10.1

$E$ caractérise la déformation longitudinale du matériau sous la contrainte, alors que $\nu$ caractérise la déformation latérale due ici à la compression.

...#tex2html_wrap_inline5021#^10.2

Avec un Y comme yielding stress.