D Applications

1 Hauteur maximale d'ascension

Nous avons vu qu'un liquide placé dans un récipient dont il mouille les parois forme un film le long de celles-ci. On examine ici la hauteur qui peut être atteinte à l'équilibre mécanique.

L'épaisseur du film à la hauteur $h$ nous est donnée par l'équation 6.8 :

$$\Pi_d(e) = \rho gh.$$ (6.26)

Le film peut alors monter jusqu'à ce que la force $\hat{f}$ qu'il exerce atteigne $\gamma_{SV}$. En ce point, on peut écrire l'équilibre mécanique :

$$\gamma_{SV} = \gamma_{SL} + \gamma_{LV} + W(e) + e\,\Pi_d(e),$$ (6.27)

soit en considérant le paramètre d'étalement $S = \gamma_{SV}-\gamma_{SL}-\gamma_{LV}$ :

$$S-W(e)-e\,\Pi_d(e)=0.$$ (6.28)

Cette équation nous donne l'épaisseur $e^\star$ du film au point d'équilibre, de laquelle on déduit la hauteur maximale :

$$h_{max} = \frac{-A_{SLV}}{6\pi \rho g\,{e^\star}^3}.$$ (6.29)

On peut également obtenir la valeur de $e^\star$ en calculant la variation d'énergie libre par unité de longueur le long de la paroi :

$$F = \int_0^h \left(e\rho g z + \gamma_{SL}+\gamma_{LV}+W(e)-\gamma_{SV}\right)\,dz~;$$ (6.30)

la hauteur maximale est alors telle que $F$ soit minimale, soit pour :

$$\rho gh\,e(h) - S + W(e) = 0$$

$$\Pi_d(e)\cdot e -S + W(e) = 0,$$ (6.31)

où l'on reconnaît l'équation 6.28.

En prenant l'exemple des forces de Van der Waals, on a $W(e)=\cfrac{-A_{SLV}}{12\pi e^2}$, et par conséquent :

$$S-\frac{-A_{SLV}}{12\pi {e^\star}^2} + e^\star \cdot\frac{A_{SLV}}{6\pi {e^\star}^3} = 0,$$

$$\text{soit}~~~S = \frac{-A_{SLV}}{4\pi {e^\star}^2}.$$ (6.32)

Pour des grandeurs courantes ($A=-10^{-20}$ J et $S=\nombre{0,1}$ J.m^-2), l'épaisseur minimale est $e\approx 1$ Å, soit de l'ordre de la taille moléculaire. Le liquide s'étale donc sur les parois jusqu'à former une couche monomoléculaire sur celle-ci. D'après ce résultat, cela n'a bien entendu pas de sens de calculer la forme de la surface là où le film s'arrête.

2 Épaisseur minimale d'étalement

Considérons une flaque de liquide mouillant parfaitement une surface solide. On suppose son épaisseur $e$ uniforme, son volume (supposé constant) est donc $V=Ae$. Cette flaque induit une variation d'énergie libre par rapport au milieu ambiant :

$$\Delta F = F_L + A\,\left(\gamma_{SL}+\gamma_{LV}+W(e)-\gamma_{SV}\right),$$ (6.33)

et une variation de $F$ due à une modification de $e$ s'écrit :

$$dF = -P_L\,dV + A\frac{dW}{de}de + \left(W(e)-S\right)\,dA$$

$$= \left(\frac{dW}{de}-P_L\right)\,dV + \left(W(e)-S - e\frac{dW}{de} \right)\,dA.$$

Comme on se place à $V$ constant, la condition d'équilibre $dF=0$ impose :

$$S - W(e) + e\frac{dW}{de} = 0.$$ (6.34)

L'épaisseur minimale de la flaque (ou plus généralement d'un film sur une surface horizontale) est donc $e^\star$.

3 Raccordement d'un film à un ménisque

Considérons l'ascension capillaire d'un liquide entre deux parois solides parallèles et distantes de $d$ (de l'ordre de la centaine de microns). L'interface est alors constituée :

• d'une calotte hémicylindrique similaire à celle étudiée page
  , sur laquelle on a :
  
  $$P_{ext}-P_L=\frac{\gamma}{r}~;$$
  
  

• d'un film mince étudié page , sur lequel on peut écrire :
  
  $$P_{ext}-P_L=\Pi_d(e)~;$$
  
  

• et d'une zone intermédiaire, dont nous ne chercherons pas la forme exacte.

On considère que les variations de $P_L$ sont suffisamment lentes pour que l'on puisse considérer que $\Pi_d(e)=\cfrac{\gamma}{r}$.

La jonction entre le film et la calotte hémicylindrique va induire un écart à la loi de Jurin. En effet, $d$ est différent de $2r$. On pose donc :

$$d=2r+x=2\frac{\gamma}{\Pi_d(e)}+x$$ (6.35)

On réalise alors (à l'équilibre mécanique) un bilan des forces s'exerçant par unité de longueur sur le système compris entre les deux lignes pointillées :

$$P_L\,d-2\gamma_{SL} - P_{ext}\,d + 2\left(\gamma_{SL}+\gamma+W(e)+e\,\Pi_d(e)\right) = 0$$ (6.36)

$$2\left(\gamma+W(e)+e\,\Pi_d(e)\right) = \left(2\cfrac{\gamma}{\Pi_d(e)}+x\right)\Pi_d(e)\,,$$ (6.37)

$$\text{d'où}~~~x=2\frac{W(e)}{\Pi_d(e)}+2e\,.$$ (6.38)

Dans le cas des forces de Van der Waals, d'après les équations 6.9 et 6.10, on a :

$$\cfrac{W(e)}{\Pi_d(e)}=\cfrac{e}{2}\,,~~~\text{et on en déduit :}$$ (6.39)

$$d=2r+3e\,.$$ (6.40)