C Cas d'un milieu matériel

On considère à nouveau deux surfaces de matériaux 1 et 2 que l'on rapproche, mais, entre les deux surfaces, il y a un milieu matériel noté 3 (en général, un liquide).

Dans le milieu matériel, on peut avoir des interactions de Van der Waals effectives répulsives : en effet, ce n'est plus tant l'interaction entre deux molécules qui compte, mais la différence entre l'interaction avec la molécule et l'interaction avec le milieu.

La théorie la plus complète dans le domaine a été élaborée par Lifschitz, qui a étudié les fluctuations du champ électromagnétique dans les milieux avec surfaces.

L'idée initiale est celle de l'effet Casimir (1904) : deux surfaces de conducteurs parfaits séparées par du vide sont en équilibre avec les photons du vide. Cependant, les conducteurs imposent des conditions aux limites strictes à leur surface. Seuls certains photons peuvent donc rester dans l'espace qui les sépare. Et qui dit moins de photons, dit moins de pression électrostatique. C'est pourquoi les deux surfaces, globalement, s'attirent.

Lifschitz a fait un calcul similaire, mais pour 3 diélectriques, de constantes $\varepsilon_1(\nu)$, $\varepsilon_3(\nu)$ et $\varepsilon_2(\nu)$, ce qui a permis de trouver l'expression exacte de l'énergie de surface :

$$W_{12}(D) = \frac{-A}{12\pi D^2} + \cdots$$ (5.13)

Lifschitz a montré qu'il existe également des termes d'ordre supérieur à 2, mais leurs amplitudes sont extrêmement faibles, si bien que l'on peut quasiment toujours les omettre.

L'expression de la constante de Hamaker est ici :

$$A_{132} = \frac{3}{2} k_BT \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\varepsilon_1(i\nu_n)... ..._2(i\nu_n)-\varepsilon_3(i\nu_n)}{\varepsilon_2(i\nu_n)+\varepsilon_3(i\nu_n)},$$ (5.14)

$$\text{avec}~~~~\nu_n = \frac{nk_BT}{\hbar},$$ (5.15)

et où les $\varepsilon(i\nu)$ sont exprimés pour des fréquences complexes.

Voici quelques exemples de constantes de Hamaker ainsi calculées pour quelques interfaces :

- octane-eau-octane :	$A = 3,6.10^{-21}$ J ;
- quartz-eau-quartz :	$A = 6,3.10^{-21}$ J ;
- cuivre-vide-cuivre :	$A = 10^{-18}$ J ;
- eau-vide-eau :	$A = 3,7.10^{-20}$ J.

En général, les constantes de Hamaker sont ainsi tabulées, pour des interfaces du même type séparées par le vide ou un solvant. Pour calculer l'interaction entre deux surfaces différentes, on utilise souvent l'approximation :

$$A_{132} \simeq \sqrt{A_{131} A_{232}}.$$ (5.16)