A Expression de la loi

Considérons un élément de surface $\vect{dS}$, courbé, dont les rayons de courbure sont $R_1$ et $R_2$ dans deux directions orthogonales. Il subit par ses côtés des forces linéiques de tension de surface, exercées par le reste de l'interface.

À l'équilibre, la résultante de ces forces s'annule avec les forces de pression exercées sur la surface. Les composantes tangentielles s'annulant deux à deux, on calcule la composante normale à la surface de la résultante des forces. La force subie par un côté (par exemple le côté bleu) de l'élément de surface est :

$$-d\theta_1\,R_1\gamma\times\sin \frac{d\theta_2}{2} = -\frac{1}{2}d\theta_1\,d\theta_2\,R_1\gamma.$$ (3.1)

La projection de la résultante s'écrit donc :

$$- \gamma\,d\theta_1\,d\theta_2\,R_1 - \gamma\,d\theta_2\,d\theta_1\,R_2 + (P_{int}-P_{ext})\times d\theta_1\,R_1 \times d\theta_2\,R_2 = 0.$$ (3.2)

On en déduit :

$$P_{int}-P_{ext} = \gamma \frac{R_1+R_2}{R_1R_2} = \gamma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$ (3.3)

$$\boxed{P_{int}-P_{ext} = \frac{2\gamma}{R}}\,,$$ (3.4)

où $R$ est le rayon de courbure moyen au point considéré, défini par $$\frac{2}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$, qui est la courbure moyenne. Il est important de noter que $R$ ne dépend que du point de la surface considéré, et pas des plans de coupe : si on les fait tourner, on retrouve le même $R$ tant qu'ils sont orthogonaux.

Notons un autre résultat, intuitif mais important : la pression est plus grande à l'intérieur de la concavité.